【証明】Asin(ωt)+Bcos(ωt)=√(A^2+B^2)sin(ωt+Φ)

交流回路の計算でよく見かけます

証明

$$A\sin(\omega t) + B\cos(\omega t)$$

まず、以下のような直角三角形を考えます。

そして、最初の式を変形していきます。

$$(\text{与式} ) = \sqrt{A^2 + B^2}\left(\frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}\sin(\omega t) + \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}\cos(\omega t)\right)$$

この時、上記の直角三角形より以下の2つの式が成立します。

$$\begin{aligned} \frac{A}{\sqrt{A^2 + B^2}}=\cos{\theta} \\ \frac{B}{\sqrt{A^2 + B^2}}=\sin{\theta} \\ \end{aligned}$$

よって、

$$\sqrt{A^2 + B^2}\left(\cos\theta\sin(\omega t) + \sin\theta\cos(\omega t)\right)$$

加法定理より、

$$\sqrt{A^2 + B^2}\sin(\omega t + \theta)$$

ただし、

$$\tan{\frac{B}{A}} = \theta$$